«Теория чисел помогает тренировать абстрактное и категорное мышление»

© iStock

«Введение в теорию чисел» — авторский онлайн-курс Владимира Шарича, старшего преподавателя факультета математики НИУ ВШЭ. Программа воспитывает вкус к математической красоте и дает практические алгоритмичные инструменты для поиска ответов на теоретико-числовые вопросы. Курс интегрирован в учебные планы в формате смешанного обучения в Вышке и в вузах-партнерах.

Владимир Шарич

— Владимир, сегодня самые востребованные специальности на рынке труда связаны с цифровыми компетенциями. Насколько освоение теории чисел важно для представителей цифровых профессий или это узкопрофильный скил математиков? 

— В data-driven-бизнесах ключевым сотрудникам необходимо иметь хорошо поставленное абстрактное и категорное мышление. Теория чисел, как и любая чистая математика, помогает такое мышление тренировать. Как, например, футболистам может быть полезно подтягиваться, чтобы быть в форме. Не совсем по профилю деятельности, но прокачивает нужные мышцы.

Развитие цифровых технологий связано с темами, рассматриваемыми в трех неделях курса. Их знание позволит лучше понять, как думает компьютер, а криптография и вовсе на них основана. Это необходимый арсенал разработчика или аналитика данных.

В целом лекции курса «Введение в теорию чисел» преимущественно относятся к теоретической математике, однако на 80% доступны и любителям — правда, только упорным. Почти все факты доказываются абсолютно элементарными методами. Это не делает доказательства простыми, но делает доступными в смысле минимума необходимых знаний. Для решения 70–80% задач достаточно напрямую применить знания, полученные из роликов. И есть около 20–30% задач, где нужно подумать, вот тут необходимо иметь математический бэкграунд, иначе не получится. 

Надеюсь, каждый сможет найти то, что интересно и доступно. Целевая аудитория курса, на мой взгляд, состоит из двух категорий: студенты математических специальностей, изучающие теорию чисел в рамках вузовской программы, и взрослые (или не очень) слушатели, у которых есть вкус к математической красоте.

— Чем «Введение в теорию чисел» отличается от других онлайн-курсов и видеолекций, где затрагивается данная тема?

— Мой курс — некий джентльменский набор сюжетов из различных подразделов теории чисел. Мы не погружаемся слишком глубоко ни в один из них, однако знакомимся с основными определениями и теоремами, учимся использовать их на практике, после чего двигаемся дальше. В этом смысле курс, насколько я смог понять путем простого поиска в интернете, уникален. По нему, кстати, нет учебника, однако если собрать 5–6 книг, то написанное в них покроет весь материал.

Многое доступно старшеклассникам при условии хорошей математической базы. Более того, тематика курса подбиралась отчасти на основе традиционных кружковых тем. Строгие доказательства даны выборочно, что-то сознательно осталось за кадром, чтобы не загромождать курс техническими деталями. В этом смысле курс нельзя считать «построением теории чисел». Это именно «введение» с упором на примерах. Познание через опыт и впечатление. Мне это видится более важным, чем в очередной раз дать сухое формальное доказательство. Хотя их в курсе немало, даже, как мне теперь кажется, слишком много. Более того, местами строгость изложения мною сознательно опускалась до математического неприличия ради упрощения материала. Возможно, коллеги меня в этом месте не поймут.

В курсе представлено пять больших концепций: 

1. Понятие делимости как повод для начала разговора о науке «теория чисел».

2. Понятие остатка (вычета по модулю) как обобщение и усиление теории делимости.

3. Понятие цепной дроби как внезапно интересного и полезного объекта.

4. Элементарные комбинаторно-геометрические аспекты теории чисел, связанные с целочисленными решетками (т.е. c клетчатой бумагой), их роль в курсе — максимально ярко продемонстрировать удивительную многогранность теории чисел.

5. Диофантовы уравнения (т.е. уравнения, которые нужно решать не вообще, а именно в целых числах) как апогей всех исследований. Здесь используются знания из самых разных подразделов.

— Какие арифметические функции, особенно значимые в рамках теории чисел, представлены в курсе?

— Основная — это функция Эйлера. Абсолютно волшебным образом она пригождается в самых неожиданных местах. А вообще арифметические функции сами по себе не особо интересны, интересно их применение. А, кроме функции Эйлера, до применений далеко. Поэтому данной теме в курсе посвящено минимальное количество времени, необходимое для знакомства.  Хотя у меня закралось подозрение, что мы можем по-разному понимать словосочетание «арифметическая функция». Если заглянуть в «Википедию»— вот ровно эти четыре мы и рассматриваем в курсе, так что мой выбор совпал с выбором автора статьи.

— С какими теоремами познакомятся слушатели?  

— Лично у меня фаворитов три: теорема Ферма — Эйлера (по-английски — Fermat's Two Squares Theorem), теорема о существовании примитивного вычета по простому модулю, теорема о существовании нетривиального решения уравнения Пелля. Доказательства всех трех теорем — удивительное творение человеческой изобретательности. Есть две теоремы, которые мы упоминаем и не доказываем (по вышеназванным причинам), однако они очень крутые: квадратичный закон взаимности Гаусса и теорема Лагранжа о периодических цепных дробях. А так я даже не берусь оценить количество теорем в курсе, да и сделать это однозначно невозможно в принципе: их можно дробить, объединять —  нет четкого критерия, какое верное утверждение можно называть теоремой, а какое никак нельзя. 

Фамилии математиков, в чью честь названы понятия и факты, попавшие в курс: Архимед, Блихфельд, Г. Вейль, Вильсон, Гаусс, Диофант, Дирихле, Евклид, Каталан, Кронекер, Лагранж, Лежандр, Мебиус, Минковский, Михайлеску, Пелль, Пифагор, Портсманн (инженер, изобрел формат А4), Рамануджан, Сильвестр, Ферма, Чэнь, Эйлер.

— Какими суперспособностями будут обладать слушатели, окончившие курс?

— Слушатели смогут проводить кружки для сильных школьников, и это не шутка: курс разрабатывался для совместного бакалавриата ВШЭ и Центра педагогического мастерства. Кроме того, слушатели смогут, получив в рамках курса первичное представление, дальше углубляться в понравившийся подраздел теории чисел. А так — в курсе содержатся практические алгоритмичные инструменты для поиска ответов на именно теоретико-числовые вопросы. Вот примеры только некоторых из них: найти наибольший общий делитель (НОД) двух целых чисел (либо двух комплексных целых чисел), представить НОД в виде линейной комбинации исходных чисел; определить, является ли остаток (вычет) квадратичным по данному простому модулю; найти достаточно хорошее рациональное приближение данного иррационального числа; решить самые разные диофантовы уравнения. Все перечислить не берусь.

Ксения Савилова

Продюсер Дирекции по онлайн-обучению НИУ ВШЭ Ксения Савилова рассказала, как строилась работа над курсом: «Интерес к компьютерным наукам растет. Это заметно по записям на наши курсы и специализации по программированию. Но не для всех очевидно, что решения сложных задач скрываются не в объеме прослушанных курсов по условному Python, а в знании базы, и в первую очередь — математической. Это отмечают и сами преподаватели. Потому что, например, изучение нейросетей — это графы, а графы — это математика. Она про структуры и их закономерности. Поэтому теория чисел, на мой взгляд, это, во-первых, просто интересно: еще в Древней Греции считали, что мир устроен по определенной числовой модели. А во-вторых, это фундамент профессионала. Стартовая точка, с которой начинается маршрут. Курс я очень рекомендую всем, кто даже просто работает с цифрами: аналитика, инвестиции, разработка, что угодно. Не пожалеете!

Хотела бы еще отметить визуальную составляющую курса, а точнее — прозрачную доску. Мы давно с ней работаем и всегда рекомендуем преподавателям сочетать несколько форматов для широты восприятия материала. Доска — отличный инструмент для преподавания математических наук, в первую очередь она незаменима для вычислений. Во-первых, это позволяет прорешивать задачи, которые по каким-то причинам непросто отразить в презентации. Во-вторых, здесь как раз происходит хороший стык онлайна и офлайна. Кому-то по привычке полностью онлайн-формат (с маркерами и планшетами) не всегда подходит. Это нормально, мы разные. А доска добавляет живости онлайн-обучению. Ты как будто сидишь в аудитории и пишешь за преподавателем».

Материал подготовила Екатерина Зиньковская, Дирекция по онлайн-обучению НИУ ВШЭ.